什么叫实数集

实数集包含所有有理数和无理数的集合，通常用大写字母R表示。

实数集概述：

18世纪，微积分学在实数的基础上发展起来。但当时的实数集并没有精确的定义。直到1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。定义是由四组公理为基础的。

1、加法定理

对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的加法a+b，且a+b属于R；加法有恒元0，且a+0=0+a=a（从而存在相反数）；加法有交换律，a+b=b+a；加法有结合律，(a+b)+c=a+(b+c)。

2、乘法定理

对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的乘法a·b，且a·b属于R；乘法有恒元1，且要符合公式a·1=1·a=a（从而除0外存在倒数）；乘法有交换律，a·b=b·a；乘法有结合律，(a·b)·c=a·(b·c)；乘法对加法有分配律，即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。

3、序公理

x、y∈R，x<y、x=y、x>y中有且只有一个成立；若x<y，?z∈R，x+z<y+z；若x<y，z>0，则x·z<y·z；传递性：若x<y，y<z，则x<z。

4、完备公理

任何一个非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。设A、B是两个包含于R的集合，且对任何x属于A，y属于B，都有x<y，那么必存在c属于R，使得对任何x属于A，y属于B，都有x<c<y。

实数集合R对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有封闭性。即任意两个实数的和、差、积、商仍为实数。实数集合是有序的，也就是说，任何两个实数 a、 b必然满足下列三种关系之一： a< b, a= b> b。实际大小有传递性质，也就是说， a> b> c，则 a> c。

实数字具有阿基米德(Archimedes)性，也就是说，对于任何 a, b- R，如果 b> a>0，就存在一个正整数 n，使 na> b。实数集合 R是稠密的，也就是说，两个不相等的实数之间都有另一个实数，既有有理数，也有无理数。

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