如何用比例性质证明重心定理？

网上有关“如何用比例性质证明重心定理？”话题很是火热，小编也是针对如何用比例性质证明重心定理？寻找了一些与之相关的一些信息进行分析，如果能碰巧解决你现在面临的问题，希望能够帮助到您。

三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。

利用三角形的相似性可以很快得到证明。

△ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。

∴DF//BC，DF=BC/2 ①（中位线定理）。

∴△ADF∽△ABC, E为BC中点，∴H为DF中点（可证AH／AE=DH／BE=HF／EC, BE=EC, ∴DH=HF)

∴HF=DF／2 , BE=BC／2，又可由①知HF=BE／2

∴HF//BE.

又∵∠BGE=∠FGH。

∴△BGE∽△FGH

∴BG/GF=BE/HF=2。

∴BG=（2/3）BF

三角形重心2:1怎么证明？

三角形重心

更多(4张)

三角形重心是三角形三边中线的交点。当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。

中文名：三角形重心

定义：是三角形三边中线的交点

性质比例：重心到对边中点的距离之比为2：1

应用领域：几何

性质证明

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

证明一

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)

又∵ AF=CF

∴HF=1/2CF

∴HF:CF=1/2

∵EH∥BF

∴EG:CG=HF:CF=1/2

∴EG=1/2CG

证明二

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

证明方法：

在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。根据重心性质知，OA'=1/3AA'，OB'=1/3BB'，OC'=1/3CC'，过O，A分别作a边上高OH'，AH,可知OH'=1/3AH 则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC；同理可证S△AOC=1/3S△ABC，S△AOB=1/3S△ABC，所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 (等边三角形）

证明方法：

证明：

连结EF交AD于M，则M为AD中点。

EF为△ABC的中位线。

所以EF‖BC且EF：BC=1：2。

由平行线分线段成比例定理有：

AG=AD-GD=4x。

所以GD：AD=2x：4x=1：2。

扩展资料：

重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。